رياضيات بحته
| ||||
|---|---|---|---|---|
| صنف فرعى من | رياضيات | |||
تعديل  |
||||
الرياضيات البحتة هيا دراسة المفاهيم الرياضية بشكل مستقل عن أى تطبيق بره الرياضيات . قد تنشأ المفاهيم دى من مخاوف العالم الحقيقي، و يتبين بعدين أن النتائج اللى تم الحصول عليها مفيدة للتطبيقات العملية، لكن علما الرياضيات البحتة لا يحركهم فى المقام الاولانى زى دى التطبيقات. وبدل ذلك، يُعزى ده الجاذبية لالتحدى الفكرى والجمال الجمالى المتمثل فى استنباط النتائج المنطقية للمبادئ الأساسية. الرياضيات البحتة كانت موجودة كنشاط من اليونان القديمة على الأقل، فقد تم تطوير المفهوم حوالى سنة 1900، بعد تقديم النظريات ذات الخصائص غير البديهية (مثل الهندسة غير الإقليدية ونظرية كانتور للمجموعات اللانهائية)، واكتشاف المفارقات الظاهرة (مثل الوظايف المستمرة اللى مش ممكن التفاضل فيها فى أى مكان، ومفارقة راسل ). و أدى ده لظهور الحاجة لتجديد مفهوم الصرامة الرياضية و إعادة كتابة كل الرياضيات مع الاستخدام المنهجى للطرق البديهية . وده دفع الكتير من علما الرياضيات لالتركيز على الرياضيات فى حد ذاتها، أى الرياضيات البحتة. بس، فضلت كل النظريات الرياضية تقريبا مدفوعة بمشاكل قادمة من العالم الحقيقى أو من نظريات رياضية أقل تجريدًا. و ذلك، الكتير من النظريات الرياضية، اللى كانت تبدو وكأنها رياضيات بحتة تمامًا، تم استخدامها فى النهاية فى المجالات التطبيقية، و بالخصوص الفيزياء وعلوم الكمبيوتر . من الأمثلة المبكرة الشهيرة على ذلك إثبات إسحاق نيوتن أن قانونه للجاذبية الكونية يعنى أن الكواكب تتحرك فى مدارات ذات قطاعات مخروطية ، هيا منحنيات هندسية تمت دراستها فى العصور القديمة على ايد أبولونيوس . مثال آخر هو مشكلة تحليل الأعداد الصحيحة الكبيرة، اللى تشكل أساس نظام التشفير RSA ، المستخدم على نطاق واسع لتأمين اتصالات الإنترنت .[2]
التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية فى الوقت الحاضر هو وجهة نظر فلسفية أو تفضيل رياضياتى اكتر منه تقسيم صارم للرياضيات.[3]
تاريخ
[تعديل]اليونان القديمة
[تعديل]علما الرياضيات اليونانيون القدماء كانو من أوائل من قاموا بالتمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية. ساعد أفلاطون فى خلق الفجوة بين "الحساب"، اللى يسمى دلوقتى نظرية الأعداد ، و"اللوجستي"، اللى يسمى دلوقتى الحساب . اعتبر أفلاطون أن علم اللوجستيات (الحساب) مناسب لرجال الأعمال ورجال الحرب اللى " لازم أن يتعلموا فن الأرقام و إلا فلن يعرفوا كيف يرتبون قواتهم" والحساب (نظرية الأعداد) مناسب للفلاسفة "لأنهم لازم ينهضوا من بحر التغيير ويضعوا أيديهم على الوجود الحقيقي". لما سأل واحد من طلابه إقليدس الإسكندرى عن فائدة دراسة الهندسة، طلب من عبده أن يعطى الطالب 3 بنسات، "لأنه لازم يستفيدو ده يتعلمه". سُئل عالم الرياضيات اليونانى أبولونيوس من برجا عن فائدة بعض نظرياته فى الكتاب الرابع من المخروطيات ، فأكد بفخر،
إنها جديرة بالقبول علشان البراهين نفسها، بنفس الطريقة اللى نقبل بيها حاجات تانيه كثيرة فى الرياضيات لده السبب بس مش لأى سبب آخر.
و بما أن كتير من نتائجه ما كانتش قابلة للتطبيق على العلوم أو الهندسة فى عصره، فقد قال أبولونيوس فى مقدمة الكتاب الخامس من المخروطيات أن ده الموضوع هو واحد من تلك الموضوعات اللى "... تبدو جديرة بالدراسة فى حد ذاتها."
القرن التسعتاشر
[تعديل]المصطلح نفسه منصوص عليه فى العنوان الكامل لكرسى سادليرى ، "أستاذ سادليرى فى الرياضيات البحتة"، اللى اتأسس (ككرسى أستاذى) فى نص القرن التسعتاشر. ممكن ظهرت فكرة إنشاء تخصص منفصل للرياضيات البحتة ساعتها . لم يقم جيل جاوس بأى تمييز شامل بين التطبيقي والصرف . و فى السنين اللى بعد كده ، ابتدا التخصص والاحتراف (و بالخصوص فى نهج فايرستراس للتحليل الرياضى ) فى جعل الخلاف اكتر وضوحا.
القرن العشرين
[تعديل]فى بداية القرن العشرين، تبنى علما الرياضيات المنهج البديهى ، متأثرين بشدة بمثال ديفيد هيلبرت . بدت الصياغة المنطقية للرياضيات البحتة اللى اقترحها برتراند راسل حسب بنية الكم للاقتراحات اكتر و اكتر معقولية، حيث بقت أجزاء كبيرة من الرياضيات بديهية و علشان كده خاضعة لمعايير بسيطة من الإثبات الصارم .
الرياضيات البحتة، حسب لوجهة نظر ممكن نسبتها لمجموعة بورباكى ، هيا ما تم إثباته. بقت "الرياضيات البحتة" مهنة معترف بها، ويمكن تحقيقها بالتدريب.
ثبت أن الرياضيات البحتة مفيدة فى تعليم الهندسة :
- فيه تدريب على عادات التفكير، ووجهات النظر، والفهم الفكرى للمشاكل الهندسية العادية، اللى مش ممكن توفرها إلا دراسة الرياضيات العليا.
العمومية والتجريد
[تعديل]
واحد من المفاهيم المركزية فى الرياضيات البحتة هو فكرة العمومية؛ و فى الغالب ما تظهر الرياضيات البحتة ميل نحو زيادة العمومية. تتضمن استخدامات ومزايا العمومية ما يلي:
- ممكن أن توصل النظريات أو الهياكل الرياضية المعممة لفهم أعمق للنظريات أو الهياكل الأصلية
- ممكن أن يؤدى التعميم لتبسيط عرض المادة،و ده يؤدى لتقديم أدلة أو حجج أقصر يسهل متابعتها.
- من الممكن استخدام العمومية لتجنب تكرار الجهود، و إثبات نتيجة عامة بدل الاضطرار لإثبات حالات منفصلة بشكل مستقل، أو استخدام نتائج من مجالات تانيه فى الرياضيات.
- ممكن للعمومية تسهيل الارتباط بين فروع الرياضيات المختلفة. نظرية الفئات هيا واحد من مجالات الرياضيات المخصصة لاستكشاف دى القواسم المشتركة للبنية كما تظهر فى بعض مجالات الرياضيات.
تأثير العمومية على الحدس بيعتمد على الموضوع وعلى التفضيل الشخصى أو أسلوب التعلم. فى الغالب ما يُنظر لالعمومية على أنها عائق قدام الحدس، رغم أنها ممكن أن تعمل بالتأكيد كمساعد له، خاصةً لما تقدم تشبيهات للمواد اللى يمتلك المرء بالفعل حدس كويس لها.
كمثال رئيسى على العمومية، تضمن برنامج إرلانجن توسيع الهندسة لاستيعاب الهندسة غير الإقليدية و مجال الطوبولوجيا ، و غيرها من أشكال الهندسة، بالنظر لالهندسة باعتبارها دراسة للفضاء مع مجموعة من التحولات. تمتد دراسة الأرقام ، اللى تسمى الجبر فى مستوى البكالوريوس المبتدئ، لالجبر المجرد على مستوى اكتر تقدمًا؛ ودراسة الوظايف ، اللى تسمى حساب التفاضل والتكامل فى مستوى السنة الأولى فى الكلية تصبح تحليل رياضى وتحليل وظيفى على مستوى اكتر تقدمًا. يحتوى دى الفروع من الرياضيات الاكتر تجريدًا على الكتير من التخصصات الفرعية، وهناك فى الواقع الكتير من الروابط بين الرياضيات البحتة وتخصصات الرياضيات التطبيقية. شاف نص القرن العشرين ارتفاع حادًا فى التجريد .
لكن فى الممارسة العملية، وصلت دى التطورات لانحراف حاد عن الفيزياء ، و بالخصوص من سنة 1950 لسنة 1983. و بعد كده ، تعرض الأمر ده لانتقادات، على سبيل المثال على ايد فلاديمير أرنولد ، باعتباره يتضمن الكثير من هيلبرت ، مش ما يكفى من بوانكاريه . لا يظهر ان النقطة قد حُسمت بعد، حيث إن نظرية الأوتار تتجه فى اتجاه واحد، فى حين تتجه الرياضيات المنفصلة نحو الإثبات باعتبارها محورية.
الرياضيات البحتة مقابل الرياضيات التطبيقية
[تعديل]كان عند علما الرياضيات دايما آراء مختلفة بخصوص بالتمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية. ممكن العثور على واحد من أشهر الأمثلة الحديثة (لكن ممكن تكون غير مفهومة) لده النقاش فى مقالة جى إتش هاردى سنة 1940 بعنوان "اعتذار عالم رياضيات" . معتقد على نطاق واسع أن هاردى اعتبر الرياضيات التطبيقية قبيحة ومملة. رغم أنه من الصحيح أن هاردى فضل الرياضيات البحتة، اللى فى الغالب ما قارنها بالرسم والشعر ، لكن هاردى رأى أن التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية هو ببساطة أن الرياضيات التطبيقية تسعى للتعبير عن الحقيقة الفيزيائية فى إطار رياضي، الرياضيات البحتة تعبر عن حقائق مستقلة عن العالم المادي. عمل هاردى تمييز منفصل فى الرياضيات بين ما أسماه "الرياضيات الحقيقية"، "التى ليها قيمة جمالية دائمة"، و"الأجزاء الباهتة والابتدائية من الرياضيات" اللى ليها استخدام عملي.[4]
هاردى اعتبر بعض علما الفيزياء، زى أينشتاين وديراك ، من علما الرياضيات "الحقيقيين"، لكن فى الوقت اللى كان يكتب فيه اعتذاره ، اعتبر النسبية العامة وميكانيكا الكم "عديمى الفائدة"،و ده سمح له بالرأى القائل بأن الرياضيات "المملة" بس هيا المفيدة. وعلاوة على ذلك، اعترف هاردى لمده صغيره بأنه ــ كما جه تطبيق نظرية المصفوفات ونظرية المجموعات فى الفيزياء بشكل مش متوقع ــ قد ييجى الوقت اللى ممكن تكون فيه بعض أنواع الرياضيات "الحقيقية" الجميلة مفيدة أيضاً.
فريدريك إنجلز قال فى كتابه "ضد دوهرينغ" الصادر سنة 1878 أن "ليس صحيح أن العقل فى الرياضيات البحتة يتعامل بس مع إبداعاته وخياله. لم يتم اختراع مفهومى العدد والشكل من أى مصدر آخر غير عالم الواقع". : 36 "وقال كذلك أنه " قبل ما نتوصل لفكرة استنتاج شكل الأسطوانة من دوران مستطيل حوالين واحد من أضلاعه، كان لابد من فحص عدد من المستطيلات والأسطوانات الحقيقية، مهما كانت غير كاملة فى الشكل. ومثل كل العلوم التانيه، نشأت الرياضيات من احتياجات البشر... ولكن، زى ما هو الحال فى كل قسم من أقسام الفكر، فى مرحلة معينة من التطور، تصبح القوانين، اللى تم تجريدها من العالم الحقيقي، منفصلة عن العالم الحقيقي، وتوضع ضده كشيء مستقل، كقوانين تأتى من الخارج، اللى يتعين على العالم أن يتوافق معها.":[5] 37
شوف كمان
[تعديل]- الكسندر فريدمان
- تيموفى پيريلوجوڤ
- ستيپان روموڤسكى
- نيكولاى زيرنوڤ
- فيدور سوڤوروڤ
- برام ستوكر
- آدم سبنسر
- البيرتو داهيك
- داجمار ر. هينى
- كونستانتين اندريف
- الرياضيات التطبيقية
- منطق
- ميتالوجيك
- الرياضيات الميتافيزيقية
مصادر
[تعديل]- ↑ "Pure Mathematics". University of Liverpool. Retrieved 2022-03-24.
- ↑ Robinson, Sara (June 2003). "Still Guarding Secrets after Years of Attacks, RSA Earns Accolades for its Founders" (PDF). SIAM News. 36 (5).
- ↑ Koperski, Jeffrey (2022). "Mathematics" (PDF). European Journal for Philosophy of Science. 12 (1): Article 12. doi:10.1007/s13194-021-00435-9. Retrieved October 16, 2024.
- ↑ Levinson, Norman (1970). "Coding Theory: A Counterexample to G. H. Hardy's Conception of Applied Mathematics". The American Mathematical Monthly. 77 (3): 249–258. doi:10.2307/2317708. ISSN 0002-9890. JSTOR 2317708.
- ↑ المرجع غلط: اكتب عنوان المرجع فى النُص بين علامة الفتح
<ref>وعلامة الافل</ref>فى المرجعengels
لينكات برانيه
[تعديل]
- ما هيا الرياضيات البحتة؟ - قسم الرياضيات البحتة، جامعة واترلو
- مبادئ الرياضيات لبرتراند راسل