معادلة شرودينجر

من ويكيبيديا، الموسوعه الحره
روح على: استكشاف، تدوير

ظهرت معادلة شرودينجر سنة 1925 على إيد الفيزيائي النمساوي إرڤين شرودينجر عشان توصف حالات النظم الكمومية اللي بتعتمد على الزمن. و بتحتل المعادلة دي أهميه خاصه في ميكانيكا الكم حيث انها بتعتبر زي قانون الحركه التاني لنيوتن اللي بيعتبر أساسي في الفيزيا الكلاسيكيه.

حسب التعبير الرياضي لميكانيكا الكم، بتترافق كل جملة فيزيائيه مع فضاء هلبرت المركب (المعقد Complex) (وهوه عبارة عن فضاء شعاعي) بحيث تتوصف كل حالة لحظية للجملة بشعاع وحده في الفضاء الشعاعي ده ، وبالتالي بيكون شعاع الحالة زي ترميز (تشفير encoding) لاحتمالات النتايج الممكنه من عمليات القياس بكل أشكالها على الجمله دي . لما تتغير الجملة دي مع الزمن, بيبقى شعاع الحاله ده زي ما يكون تابع للزمن (داله زمنية).

أعداد الكم الناتجه عن حل معادلة شرودينجر :

  1. عدد الكم الرئيس n
  2. عدد الكم الفرعي l
  3. عدد الكم المغناطيسي ml
  4. عدد الكم المغزلي ms
 H(t) \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle

أعداد الكم الناتجة. و وضح شرودينجر بعد كده مفهوم الأوربيتال واستخدمه بدل المدار بمفهوم نيلس بور:

المدار:خط وهمى على شكل دايره حولين النواه بتدور فيه الإلكترونات على بعد ثابت ومحدد عن النواه.

الأوربيتال:منطقة قي الفراغ (منطقة من السحابة الالكترونية)يحتمل وجود الالكترونات فيها.

و كانت المعادلة الموجية لشرودنجر ومبدأ عدم التأكد لهايزنبرج والطبيعة المزدوجة للألكترون لـدي برويلي زي الشواكيش اللي عدلت نظرية بور "اللي نجح في التوفيق بين نظرية ماكسويل ونموذج رذرفورد" واللي اعتمدت على مفهوم المدار وان الإلكترون ما بيشعش في الحاله المستقره.

و ده شرح لمعادلة شرودينجر :

Schrödinger Equation

معادلة شرودينجر


معروف أن أي موجة بتنتشر في اتجاه واحد x ممكن وصفها عن طريق المعادله التفاضليه الي جايه :

           (1)

بحيث F بتمثل الداله الموجيه اللي بتعتمد على المكان x والزمن t. والسرعة vph2 بتمثل سرعة الموجه (phase speed), ف لو كنا بنتكلم على موجة صوتية مثلاً بتنتشر في الهواء يبقى الداله الموجيه F هي مقدار التغير في التضاغط والتخلخل في جزيئات الهوا والسرعة vph هي سرعة الصوت في الهوا و لو كانت موجة ضوء يبقى الداله الموجيه F هي التغير في المجال الكهربي والمغناطيسي والسرعة هي سرعة الضوء.

في حالة وصف جسيم بداله موجيه يبقى مربع الداله الموجيه بيعبر عن احتمالية رصد الجسيم في الفراغ في وحدة الزمن. وهنرمز لالداله الموجيه دي بالرمز Y.

وحيث أن الداله الموجيه متغيره في المكان والزمان عشان كده هنفترض أنها بتأخذ الصورة دي:

Y(x,t) = y(x) f(t) (2)

لما تتصاغ معادلة شرودينجر بنفترض نظام متكون من جسيم بيتحرك في بعد واحد x وبينتشر كموجه وان الجسيم ده بيتفاعل مع اللي بيحيط بيه ومرتبط بيه من خلال دالة الجهد V وله طاقة كلية E ثابته و هنفترض أن التردد معروف بدقه n=h/E يبقى الداله F بتكون داله جيبيه على النحو ده:

f(t) = cos 2pn t (3)

بالتعويض في المعادله (1) بالداله الموجيه في المعادله (2) نلاقي

بالتعويض في المعادلة (1) نلاقي

     (4)

إذا كان الجسيم وكتلته m موجود في وسط له جهد V بتكون الطاقة الكليه E للجسيم والوسط هو مجموع طاقة الحركة Ek وطاقة الوضع المتمثله في الجهد V.

           (5)

بالتعويض في المعادله (4) من المعادله(5)

      (6)

و دي معادلة شرودينجر في بعد واحد واللي بتفترض أن الجسيم بينتشر على شكل موجة وبتتسمى المعادله الموجيه وحيث ان الجسيم بيتفاعل مع المحيط الموجود فيه من خلال الجهد V.

باستخدام معادلة شرودينجر على جسيم مرتبط بجهد V بمعنى أن القوه اللي بيأثر بيها الوسط على الجسيم المرتبط معروفه ممكن إيجاد الداله الموجيه ومستويات الطاقه المسموحه وكمية الحركة. وحيث أن مربع الداله الموجيه بيعبر عن احتمالية تواجد الجسيم في مكان x في وحدة الزمن يبفى الحل المقبول للداله الموجيه y لازم يحقق الشروط الحديه اللي بيفرضها الجهد V و الشروط الحديه دي هتأدي ل تكميم الطاقه للجسيم يعني يكون في قيم محدد بس للطاقه مسموحه.

ولتوضيح ده هنطبق معادلة شرودينجر على المثال الي فات لجسيم في صندوق جهد لانهائي.

Particle in one dimensional potential well of infinite height

من أسهل التطبيقات على معادلة شرودينجر هوه حل مشكلة جسيم موجود جوه صندوق له بعد واحد L وجدار الصندوق بيمثل جهد V لانهائي بحيث ان ما ينغعش ان الجسيم يفلت من الجهد ده وبالتالي يبقى الجسيم هيحدد وجوده في المسافة بين x=0 و x=L. بحيث يتحرك بحريه في المدى ده بجهد بيساوي صفر وتكون التصادمات بين الجسيم وجدار الصندوق هي تصادمات مرنة ما يفقدش فيها الجسيم طاقه.

بالتعويض عن قيمة الجهد V=0 في معادلة شرودنجر نلاقي

     (7)

بإعادة ترتيب المعادلة على الشكل ده :

        (8)

حيث ان

حيث ان الصندوق بيمثل الجهد المتطبق على الجسيم واعتبر أن جدار الصندوق ذو ارتفاع لانهائي بحيث ما يمكنش للجسيم أنه يتواجد بره الصندوق و بكده تبقى الشروط الحدية هي:

V(x) = 0 for 0 < x < L V(x) = ¥ for 0 > x < L y(x) = 0 for 0 ³ x ³ L

والحل اللي بيحقق المعادله التفاضليه(7) لازم يكون متوافق مع الشروط الحديه اللي فاتت يعني

y(0) = 0 & y(L) = 0

والحل المناسب اللي بيحقق الشروط دي هو

y(x) = A sin Bx

بنلاحظ أن الشرط y(0) = 0 متحقق، وعشان يبقى الشرط الثاني y(L) = 0 متحقق يبفي BL=np حيث ان n عدد صحيح وبالتعويض عن B نلاقي

وعليه بتكون الطاقة للجسيم جوه بير الجهد هي

وتكون الداله الموجيه له هي

وهذه نفس النتايج اللي حصلنا عليها قبل كده واللي توضح أن الطاقه المسموحه للجسيممكممه