اشتقاق

اشتقاق
تفاضل وتكامل

المنحنى بالأحمر، ومستقيم الظل بالأسود، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، بيتسمّا العدد المشتق.

الاشتقاق (انجليزى: Differential calculus) بيعبر عن المعدل اللى بتتغير فيه قيمة y نتيجة تغير قيمة x بيبقى فيه بينهم علاقه رياضيه (داله رياضيه). والمشتقه تعريفها هى المماس لمنحنى f(x) عند اى نقطه بس بشرط ان المشتقه دى او السرعه اللحظيه أو معدل التغيير اللحظى للداله يبقى موجود.

وبيستخدم الرمز Δ (دلتا) عشان يعبر عن التغير فى الكميه. معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y لنسبة تغيرx :

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

لمّا Δx تقرب من 0.

ممكن تتكتب مشتق y بالنسبه لـ x: (ترميز لايبنز)

${\frac {dy}{dx}}$

والتعريف الأصح لمفهوم الاشتقاق بيبقى باستخدام مقادير لا متناهيه فى الصغر:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

رمز الإشتقاق

المشتقه ممكن يتعبر عنها بشوية صيغ، زى:

• صيغة چوزيف لويس لاغرانج:

$f'\left(x\right)$

• صيغة جوتفريد لايبنتز:

${\frac {{\mathrm {d} }f}{{\mathrm {d} }x}}$

واللى بتكافئ الصيغة ${\frac {{\mathrm {d} }\left(f(x)\right)}{{\mathrm {d} }x}}$

• صيغة اسحاق نيوتن :

${\dot {x}}={\frac {{\mathrm {d} }x}{{\mathrm {d} }t}}=x'(t)$

بتستعمل اكتر شى فى الفيزيا.

• صيغة ليونهارد اويلر:

$D_{x}f(x)\;$

الاشتقاق الثابت

فى التحليل الرياضى، مشتق ثابت او تابع ثابت هو الصفر. التابع الثابت هو تابع مابيعتمدش على اى متغير مستقل زى:

f(x) = 7

مشتقات شوية دوال مشهوره

الداله $f(x)=\,$	المشتقه $f'(x)=\,$	شرط الاشتقاق
$a\,\!$	$0\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$ax\,\!$	$a\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$1 \over x\,\!$	$-{1 \over x^{2}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
${\sqrt {x}}\,\!$	${1 \over 2{\sqrt {x}}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} _{+}^{*}$
$ax^{n}\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb {N} ^{*}\quad x\,\in \mathbb {R}$
$ax^{n}\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} \quad x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
$ax^{c}\,\!$	$acx^{c-1}\,\!$	$c\,\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \quad x\,\in \mathbb {R} ^{*+}$
$\cos(x)\,\!$	$-\sin(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\sin(x)\,\!$	$\cos(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\tan(x)\,\!$	$1 \over \cos ^{2}(x)$ ou $1+\tan ^{2}(x)\,\!$	$x\neq {\pi \over 2}+k\pi$, $k\in \mathbb {Z}$
$\arccos(x)\,\!$	$-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\arcsin(x)\,\!$	${1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\arctan(x)\,\!$	${1 \over 1+x^{2}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$a^{x}\,\!$	$a^{x}\ln a\,\!$	$a\,\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad x\,\in \mathbb {R}$
$\ln |x|\,\!$	$1 \over x\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
$\exp {x}\,\!$	$\exp {x}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$