مقدمه للنسبيه الخاصه

مقدمه للنسبيه الخاصه

البرت اينشتاين فى محاضره فى فيينا سنة 1921

فى الفيزيا، النسبيه الخاصه (انجليزى: special relativity) نظريه عن الوقت والمكان، عمل البرت اينشتاين سنة 1905 من اجل تعديل نسبية جاليليو. النظرية استطاعت تحل قضايا ملحه فى الفيزيا من اواخر القرن ال19. مثل فشل تجربة ميكلسون ومورلي سنة 1887، اللى كان الهدف منه قياس الاختلاقات فى سرعة الضوء نتيجة حركة الارض بالنسبه للإيثر (مصطلح كان بيستخدم فى القرن ال19 من اجل وصف الوسط اللى يمشى فيه الضوء).

اينشتاين افترض ان سرعة الضوء فى الفضاء ثابته لكل المشاهدين ولا تعتمد على الحركه النسبيه لمصدر الضوء.والافتراض كان نتيجة إن اينشتاين افترض إن معادلات ماكسويل فى الفيريا الكهروماعناطيسيه (الذي ينص على إن سرعة الضوء فى الفراغ له قيمه محدده) ممكن تستعمل فى اى إطار مرجعى مش فى الإطار الخاص بالإيثر بس زى ما العلماء كانو بيعتقدوا ساعتهاضمع الميكانيكا الكلاسيكيه لكن دلوقتى العلماء بيستريحوا لفكرة إن سرعة النور ثابته لدرجة أن المتر متعرف على أنه المسافه اللى بيقطعها النور فى زمن ${\frac {1}{299792458}}$ ثانيه.

التوقعات بتاعة النسبيه الخاصه تقريباً نفس التوقعات بتاعة نسبية جاليليو فى معظم الظواهر اللى بنشفها كل يوم واللى بيكون السرعات فيها قليله جداً بالنسبه لسرعة النور، لكن فى السرعات الكبيره النسبيه الخاصه بيطلع توقعات مختلفه، وفيه تجارب كتيره اتعملت وكلها بتأيد التوقعات دي. اول توقع وصفه اينيشتاين هو نسبية التزامن اللى بيقول إن لو فى مشاهدين بيتحركه بالنسبه لبعضهم ممكن واحد منهم يشوف حدثين حصلوا فى نفس الوقت وواحد تانى يشوف إن واحد من الحدثين حصل قبل التانى. من اهم التوقعات التانيه فى النسبيه الخاصه: تمدد الوقت (لو فى ساعه ثابته بالنسبه لمشاهد وساعه تانيه بتحرك بالنسبه له، المشاهد هيشوف إن العقارب فى الساعه اللى بتتتحرك بتدور ابطء من العقارب اللى فى الساعه الثابته)، وإنكماش الطول (لو فى قضيب بيتحرك هيبان اقصر من وهوا ثابت بالنسبه لمشاهد معين)، والعلاقه ما بين الكتله والطاقه ($E=mc^{2}$).

سنة 1908 هيرمان مينكوفسكى عمل تعديلات فى النظريه بتعتمد على افترضات هندسييه. مينكوفسكى اعتبر إن الوقت والمكان شكلين لحاجه واحده وهى السبيس-تايم.

زى ما دلوقتى نسبية جاليليو بتعتبر تقريب للنسبيه الخاصه وبتصلح للإستعمال فى السرعات القليله، النسبيه الخاصه بردو بتعتبر تقريب للنسبيه العامه وبتصلح للإستعمال فى مجالات الجاذبيه الضعيفه.

الإطارات المرجعيه ونسبية جاليليو

الإطار المرجعى عباره عن إختيار للجسم اللى هيعتبر ثابت. يعنى اول اما بيتم إختيار جسم وبتتعرف سرعته على إنها بتساوى صفر، السرعه بتاعت أى جسم تانى فى الكون ممكن تتحدد بالنسبه للجسم دا. مثلاً لو فى قطر بيتحرك جنب رصيف بسرعه ثابته. ممكن الواحد يعتبر إن الرصيف ثابت والقطر بيتحرك ودا يبقى الإطار المرجعى بتاع الرصيف، او ممكن الواحد يعتبر إن القطر ثابت والرصيف هوا اللى بيتحرك ودا يبقى الإطار المرجعى بتاع القطر.

السؤال اللى بيطرح نفسه، ينفع نوصل لإطار مرجعى ثابت ثبات مطلق عن طريق مجموعه من التجارب؟ أرسطو كان بيعتقد إن أى جسم بيبطء حركته وبيوصل لحالة ثبات لما مفيش قوه بتأثر عليه. جاليليو غير الفكره ده لما قال إن مفيش حاجه اسمها حركه او ثبات مطلق وإن أى حركه عباره عن حركه نسبيه. لو فى مشاهد موجود فى جسم معزول (مركبة فضاء مثلاً) ميقدرش يعرف لو هوا فى حالة ثبات بالنسبه لمشاهد تانى او بيتحرك بسرعه ثابته بالنسبه لنفس المشاهد علشان أى تجربه هيعملها هطلع نفس النتيجه فى الحالتين. لكن الإطارات المرجعيه اللى بتتحرك بعجله ممكن تتعرف عن طريق التجارب. مثلاً لو واحد قاعد فى قطر وشاف إن المياه فى كوبايتو مايله يقدر يعرف إن القطر بيتحرك بعجله. علشان كده مش كل الإطارات المرجعيه زى بعضها، الإطارات المرجعيه اللى بتتحرك بسرعه ثابته بالنسبه لبعضها وبيتحقق فيها قانون نيوتن الاول بتتسمى إطارات مرجعيه عطاليه.

نسبية جاليليو بتقول إن قوانين الفيزيا مينفعش تعتمد على السرعه المطلقه ولازم تفضل ثابته فى أى إطار مرجعى عطالى. من النحيه الرياضيه بتقول إن لو حولنا كل السرعات ب إنها تبقى بالنسبه لإطار مرجعى تانى قوانين الفيزيا مش هتتغير. جاليليو حط قانون تحويل بيعتمد على الشعور العام:

• الجسم P بيتحرك بسرعه $v$ بالنسبه للإطار المرجعى A
• والإطار المرجعى A بيتحرك بسرعه $u$ بالنسبه للإطار المرجعى B
• يبقى سرعة الجسم P بالنسبه للإطار المرجعى B بتساوى $v+u$

التحويل الإحداثيات ما بين الإطارات المرجعيه بالطريقه ده اسمها تحويلات جاليليو ومش بتغير قونين الفيزيا. لو خدنا قانون نيوتن التانى كمثال، القانون هيفضل ثابت بعد التحويلات علشان القانون بيعتمد على التفاضل بتاع السرعه ف أى رقم ثابت هيتضاف للسرعه مش هيفرق (التفاضل بتاع رقم ثابت بيساوى صفر). لو التحويلات إتعملت ما بين إطارات مرجعيه بتتحرك بعجله بالنسبه لبعضها قوانين الفيزيا هتتغير وده علشان تحويلات جاليليو مبتصلحش غير للإطارات المرجعيه العطاليه.

فى نسبية جاليليو الوقت بيعتبر حاجه مطلقه.

الإطارات المرجعيه وتحويلات لورينتز

افترض إن فى شخصيين محمود وخالد كل واحد موجود على كوكب معين وبيتحركوا بعيد عن بعض. وعلشان كل واحد على كوكب مختلف فكل واحد شايف إن هوا ثابت. خالد رسم رسم بيانى للحركه بتاعة محمود فى الوقت والمكان.

وجهة نظر خالد عن محمود، ووجهة نظر محمود عن نفسه

خالد شايف محمود بيتحرك فى الوقت والمكان لكن محمود شايف نفسه بيتحرك فى الوقت بس وشايف خالد هو اللى بيتحرك فى الوقت والمكان. الاختلاف فى وجهة النظر ده سببه الاختلاف فى الإطارات المرجعيه وممكن يتربطوا ببعض عن طريق تحويل فى الاحداثيات. وجهة نظر محمود عن الخط العالمى بتاعه ووجهة نظر خالد عن الخط العالمى بتاع محمود مربطين ببعض عن طريق تدوير الاحداثيات. يعنى وجهة نظر خالد ممكن تتحول لوجهة نظر محمود او العكس عن طريق تدوير محول الوقت. التحويلات ما بين الإطارات المرجعيه بتتعمل عن طريق الهندسه المنكوفيسكيه.

فى الميكانيكا الكلاسيكيه الاختلافات فى الإطارات المرجعيه بتتمثل بتحويلات فى السرعه لكن فى الفضاء المنكوفيسكى بتتمثل بإدارات فى الاحداثيات. الإدارات دى بتسمى تحويلات لورينتز.

ثبات سرعة النور

اينشتاين إفترض إن سرعة النور ثابته.

الإقتراح الاول:

لو فى جسم بيتحرك بسرعة النور $c$ فى إطار مرجعى، فترة السبيس-تايم بتساوى صفر.

الإثبات:

فترة السبيس-تايم ما بين الحدث $(0,0,0,0)$ والحدث $(x,y,z,t)$:

$s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\left(ct\right)^{2}$

المسافه اللى بيقطعها جسم بيتحرك بسرعه $v$ لمدة $t$ ثانيه

${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=vt$

عن طريق التعويض

$s^{2}=\left(vt\right)^{2}-\left(ct\right)^{2}$

بس $v$ بتساوى $c$

$s^{2}=\left(ct\right)^{2}-\left(ct\right)^{2}$

يعنى

$s^{2}=0$

الإقتراح التانى:

لو فى جسم بيتحرك بسرعة النور $c$ بالنسبه لإطار مرجعى معيين هيظهر بيتحرك بسرعة النور $c$ فى أى إطار مرجعى تانى.

الإثبات:

إفترض إن الجسم بيتحرك بسرعه $v$ بالنسبه لإطار مرجعى تانى. فى التحويل من إطار مرجعى لواحد تانى لازم فترة السبيس-تايم تفضل ثابته. الإقتراح الاول بيبين إن فترة السبيس-تايم بتساوى صفر فى واحد من الإطارات المررجعيه فلازم فترة السبيس-تايم تساوى صفر فى كل الإطارات المررجعيه.

$\left(vt\right)^{2}-\left(ct\right)^{2}=0$

يعنى

$\left|v\right|=c$

علشان فترة السبيس-تابم بتاع مسار اشعة النور بيساوى صفر، كل المشاهدين بيشوفوا النور بيتحرك بنفس السرعه. لو إفترضنا إن الكون بيتكون من اربع ابعاد بيحكمهم الفضاء المينكوفسكى، سرعة النور هتبقى ثابته وبالتالى مش هيبقى فى حاجه من إفتراض إن سرعة النور ثابته زى ما اينشتاين عمل وهو بيحط النظريه.

تمدد الوقت وإنكماش الطول

تمدد الوقت

واحد من النتايج اللى بتظهر نتيجة ثبات قترة السبيس-تايم إن عقارب الساعات اللى بتتتحرك بالنسبه ليك هتبان بتدور ابطء من العادى. تعالوا نرجع للمثال بتاع خالد ومحمود.

خالد شايف إن فترة السبيس-تايم اللى قطعها محمود كده:

$s^{2}=\left(vt\right)^{2}-\left(ct\right)^{2}$

لكن محمود شايف إن هوا متحركش فى الفضاء، ف هيشوف إن فترة السبيس-تايم بتاعتو كده:

$s^{2}=(0)^{2}-\left(cT\right)^{2}$

وعلشان ثبات فترة السبيس-تايم ($s$)، كل المشاهدين بيشوفوا فترة السبيس-تايم بين أى نقطتين ليها نفس القيمه. معنى كده إن فترة السبيس-تايم بتاعة محمود بالنسبه لنفسه هيا هيا بالنسبه لى خالد، ف:

$(0)^{2}-\left(cT\right)^{2}=\left(vt\right)^{2}-\left(ct\right)^{2}$

$-\left(cT\right)^{2}=\left(vt\right)^{2}-\left(ct\right)^{2}$

يعنى:

$t={\frac {T}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

معنى كده إن لو خالد شاف ساعه مع محمود بتقرأ ثانيه، الساعه بتاعت خالد هتقرأ وقت ($t$) والوقت ده هيبقى أكتر من ثانيه. علشان كده الساعات اللى بتتحرك بتظهر العقارب فيها بتدور أبطء بالنسبه للمشاهديين الثابتين.

فى النسبيه الخاصه، التغيير فى الإطارات المرجعيه بيأثر على الوقت. معنى كده إن الوقت مبقاش حاجه مطلقه.

نسبية التزامن

الأحداث A و B و C بيحصلوا بترتيب مختلف على حسب الحركه بتاعت المشاهد. الخط الابيض بيمثل الأحداث اللى بتحصل فى نفس الوقت بالنسبه لمشاهد معين وبيتحرك من الماضى للمستقبل.

لو مشاهد ظبط مجموعه من الساعات ب إن كلهم يكونوا مظبطين على نفس التوقيت ورصهم فى خط مستقيم، وجه مشاهد تانى إتحرك بسرعه عاليه على الخط دا هيشوف إن كل ساعه بتقرأ وقت مختلف. معنى كده إن لو فى مشاهدين بيتحركوا بالنسبه لبعضهم كل واحد هيشوف مجموعه مختلفه من الأحداث متزامنه مع بعضها (بتحصل فى نفس الوقت) والأحداث دى هى اللى بتمثل الحاضر بتاع كل واحد فيهم. الظاهره دى اسمها نسبية التزامن.

نتيجه لنسبية التزامن، لو فى حدثين بيفصل ما بينهم فترة سبيس-تايم شبيها بالمكان (يعنى مفيش علاقة سببيه ما بين الحدثين) ماينفعش يتعرف بطريقه مطلقه انى حدث حصل قبل التانى علشان ممكن مشاهد يشوف حدث منهم حصل قبل التانى ومشاهد تانى يشوف الحدث التانى حصل قبل الأولانى ومشاهد تالت يشوف الحدثين حصلوا فى نفس الوقت.

مقدمه للنسبيه العامه

النسبيه الخاصه بتعتبر حاله خاصه من النسبيه العامه علشان بتفترض إن الزمكان مستوى يعنى بتفترض إن الهيكل بتاع الفضاء المينكوفسكى ثابت فى كل حته. فى النسبيه العامه اينشتاين بيّن إن دا مش صح وإن الهيكل بتاع الزمكان بيتغير على حسب وجود الماده. معنى كده إن الصيغه بتاعت المسافه $s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}$ مينفعش تستعمل غير فى الفضاء اللى مفيهوش كتله. لكن زى ما السطح المنحنى ممكن يتقسم لمجموعه من الاجزاء المستويه المتناهية الصغر فى التفاضل والتكامل، ممكن نفس الحكايه تتعمل مع الزمكان المنحنى. وبكده صيغة المسافه تبقى:

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}$

علاقة الكتله والطاقه

اينشتاين بيّن إن الكتله صوره من صور الطاقه فى العلاقه

$E=mc^{2}$

العلاقه ده بتبيّن إن الكتله ممكن تتحول لطاقه. ودا المبدأ الاساسى بتاع القنبله الذريه وتوليد الطاقه فى المفاعلات النوويه والنجوم.

تطبيقات

فى إعتقاد إن الفيزيا النسبيه مش بتأثر فى حياتنا اليوميه، لكن العكس هو الصحيح فى حجات كتير فى التكنولوجيا بتعتمد على الفيزيا النسبيه زى

• أنبيب الاشعه المهبطيه
• معجل الجسيمات
• GPS

إفتراضات النسبيه الخاصه

الإفتراض الاول: مبدأ النسبيه (قوانين الفيزيا هيا هيا فى كل الإطارات المرجعيه).

الإفتراض التانى: ثبات قيمة $c$ (سرعة النور فى الفراغ مابتعتمدش على حركة مصدر النور).

شوف بردو

• نسبيه خاصه