نظام الاحداثيات
| ||||
|---|---|---|---|---|
 | ||||
لنك عشوائى | ||
| تصانيف | شوف كمان | |
|---|---|---|
| مصطلحات | مهن جهاز| جوايز كل الليستات |
نظام الاحداثيات | |
نظام الإحداثيات فى الهندسة ، معروف بأنه نظام يستخدم عددًا واحد أو اكتر، أو إحداثيات ، لتحديد و توحيد مواقع النقاط أو العناصر الهندسية التانيه على سطح متعدد الشعب ، زى الفضاء الإقليدى .[1] مش ممكن استبدال الإحداثيات ببعضها؛ و فى العاده يتم تمييزها بموقعها فى مجموعة مرتبة، أو بتسمية، زى "الإحداثى السيني ". الإحداثيات اعداد حقيقية فى الرياضيات الأساسية ، لكن ممكن تكون اعداد مركبة أو عناصر من نظام اكتر تجريدًا، زى الحلقة التبادلية . يتيح استخدام نظام الإحداثيات تحويل مسائل الهندسة لمسائل تتعلق بالأعداد والعكس صحيح ؛ وده هو أساس الهندسة التحليلية .[2]
أنظمة الإحداثيات المشتركة
[تعديل]خط الأرقام
[تعديل]أبسط مثال على نظام إحداثيات أحادى البعد هو تحديد النقاط على خط باستخدام الأعداد الحقيقية عبر خط الأعداد . فى النظام ده ، تُختار نقطة عشوائية O (نقطة الأصل ) على خط معين. بييتعرف إحداثى النقطة P بأنه المسافة الموجهة من O لP ، حيث المسافة الموجهة موجبة أو سالبة حسب موقع P على الخط. تُعطى كل نقطة إحداثى فريد، وكل عدد حقيقى بييمثل إحداثى لنقطة فريدة.[3]
نظام الإحداثيات الديكارتية
[تعديل]
نظام الإحداثيات الديكارتية مثال نموذجى لنظام إحداثيات. فى المستوى ، يُختار خطان متعامدان ، و إحداثيات أى نقطة هيا المسافات الموجهة لهذين الخطين.[4] فى 3 أبعاد، تُختار 3 مستويات متعامدة ، و إحداثيات أى نقطة هيا المسافات الموجهة لكل مستوى من دى المستويات.[5] ممكن تعميم ذلك لإنشاء n إحداثيات لأى نقطة فى الفضاء الإقليدى ليه n بُعد.
اعتماد على اتجاه وترتيب محاور الإحداثيات ، النظام ثلاثى الأبعاد ممكن يكون نظام يمينى أو نظام يسارى.
نظام الإحداثيات القطبية
[تعديل]نظام الإحداثيات القطبية نظام منتشر آخر للمستوى.[6] تُختار نقطة علشان تكون القطب ، ويُؤخذ شعاع من دى النقطة ليكون المحور القطبي . بالنسبة لزاوية معينة θ ، فيه خط واحد يمر بالقطب، وتكون زاويته مع المحور القطبى θ (مقاسة عكس اتجاه عقارب الساعة من المحور لالخط). عندئذٍ، توجد نقطة فريدة على ده الخط، تكون بعدها الموجه عن نقطة الأصل r، حيث r عدد مُعطى. بالنسبة لزوج مُعطى من الإحداثيات ( r ، θ ) توجد نقطة واحدة، لكن أى نقطة تُمثَّل بكتير من اجوأز الإحداثيات. زى ، ( r , θ ), ( r , θ +2 π ) و (− r , جميع قيم θ + π هيا إحداثيات قطبية لنفس النقطة. بييمثل القطب بالرمز (0, θ ) لأى قيمة لـ θ .
أنظمة الإحداثيات الأسطوانية و الكروية
[تعديل]
فيه طريقتين منتشرتين لتوسيع نظام الإحداثيات القطبية ل3 أبعاد. فى نظام الإحداثيات الأسطوانية ، تُضاف إحداثية z، اللى ليها نفس المعنى فى الإحداثيات الديكارتية، لالإحداثيات القطبية r و θ،و ده بيدى ثلاثية ( r ، θ). θ ، z ).[7] تأخذ الإحداثيات الكروية الأمر ده خطوة أبعد بتحويل جوز الإحداثيات الأسطوانية ( r ، z ) لالإحداثيات القطبية ( ρ ، φ )و ده يعطى ثلاثية ( ρ , θ ، φ ).[8]
نظام إحداثيات متجانس
[تعديل]ممكن تمثيل نقطة فى المستوى بإحداثيات متجانسة بثلاثية ( x , y ، z ) حيث x / z و y / z هما الإحداثيات الديكارتية للنقطة.[9] يُضيف ده إحداثية "إضافية" لأنه يكفى إحداثيتان بس لتحديد نقطة على المستوى، لكن النظام ده مفيد لأنه بييمثل أى نقطة على المستوى الإسقاطى دون استخدام اللانهاية . فى العموم ، نظام الإحداثيات المتجانس هو نظام تكون فيه نسب الإحداثيات بس هيا المهمة، مش القيم الفعلية.
أنظمة تانيه منتشرة الاستخدام
[تعديل]من أنظمة الإحداثيات الشائعة التانيه :
- الإحداثيات المنحنية تعميم لأنظمة الإحداثيات بشكل عام؛ ويعتمد النظام على تقاطع المنحنيات.
- الإحداثيات المتعامدة : تلتقى أسطح الإحداثيات بزوايا قائمة.
- الإحداثيات المائلة : أسطح الإحداثيات مش متعامدة
- يمثل نظام الإحداثيات اللوغاريتمى القطبى نقطة فى المستوى بلوغاريتم المسافة من نقطة الأصل وزاوية مقاسة من خط مرجعى يتقاطع مع نقطة الأصل.
- إحداثيات بلوكر هيا طريقة لتمثيل الخطوط فى الفضاء الإقليدى ثلاثى الأبعاد باستخدام ستة أرقام كإحداثيات متجانسة .
- الإحداثيات المعممة بتستعمل فى المعالجة اللاغرانجية للميكانيكا.
- الإحداثيات الكنسية بتستعمل فى المعالجة الهاميلتونية للميكانيكا.
- نظام الإحداثيات الباريسنترية زى ما هو مستخدم فى المخططات الثلاثية و بشكل اكتر عمومية فى تحليل المثلثات .
- الإحداثيات الثلاثية بتستعمل فى سياق المثلثات.
فيه طرق لوصف المنحنيات دون استخدام الإحداثيات، و ده باستخدام معادلات جوهرية تعتمد على كميات ثابتة زى الانحناء وطول القوس . الطرق دى بتشمل :
- معادلة ويويل بتربط بين طول القوس والزاوية المماسية .
- معادلة سيزارو بتربط بين طول القوس وانحنائه.
إحداثيات الأشكال الهندسية
[تعديل]أنظمة الإحداثيات فى الغالب بتستعمل لتحديد موقع نقطة، لكن قد بتستعمل كمان لتحديد موقع أشكال اكتر تعقيد زى الخطوط والمستويات والدوائر والكرات . زى ، بتستعمل إحداثيات بلوكر لتحديد موقع خط فى الفضاء.[10] عند الحاجة، بيستخدم نوع الشكل المراد وصفه لتمييز نوع نظام الإحداثيات، فزى ، بيستخدم مصطلح "إحداثيات الخط" لأى نظام إحداثيات بييحدد موقع خط.
ممكن يحصل إن أنظمة الإحداثيات لمجموعتين مختلفتين من الأشكال الهندسية تبقى متكافئة من ناحية التحليل.
و من أمثلة ده أنظمة الإحداثيات المتجانسة للنقاط و الخطوط فى المستوى الإسقاطى.
فى الحالة دى باتقال إن النظامين "ثنائيين".
الأنظمة الثنائية بتتميّز بخاصية إن نتائج واحد من النظامين ممكن تتنقل للنظام التاني، لأن النتائج دى ما هيش غير تفسيرات مختلفة لنفس النتيجة التحليلية. ده اللى بيتعرف باسم "مبدأ الثنائية".[11]
تحولات
[تعديل]فى العاده توجد أنظمة إحداثيات مختلفة لوصف الأشكال الهندسية. وتُوصَف العلاقة بين دى الأنظمة بتحويلات الإحداثيات ، اللى تُعطى صيغ للإحداثيات فى نظام ما بدلالة الإحداثيات فى نظام آخر. زى ، فى المستوى، إذا كانت الإحداثيات الديكارتية ( x, y) هيا (x, y)، y ) و الإحداثيات القطبية ( r ، إذا كان لدينا نفس الأصل، و كان المحور القطبى هو المحور x الموجب، تحويل الإحداثيات من الإحداثيات القطبية لالإحداثيات الديكارتية بيدى بx = ر cos θ و y = ر sin θ . ممكن ربط كل تقابل من الفضاء لنفسه بتحويلين إحداثيين:
- بحيث تكون الإحداثيات الجديدة لصورة كل نقطة هيا نفسها الإحداثيات القديمة للنقطة الأصلية (صيغ التعيين هيا عكس صيغ تحويل الإحداثيات).
- بحيث تكون الإحداثيات القديمة لصورة كل نقطة هيا نفسها الإحداثيات الجديدة للنقطة الأصلية (صيغ التعيين هيا نفسها صيغ تحويل الإحداثيات).
زى ، فى البعد الواحد ، إذا كان التحويل إزاحة بمقدار 3 لاليمين، التحويل الاولانى ينقل الأصل من 0 ل3، بحيث يبقا إحداثى كل نقطة أقل بمقدار 3، فى الوقت نفسه ينقل التحويل التانى الأصل من 0 ل-3، بحيث يبقا إحداثى كل نقطة اكتر بمقدار 3.
خطوط/منحنيات الإحداثيات
[تعديل]فى نظام إحداثيات، إذا تغير واحد من إحداثيات نقطة ما مع ثبات باقى الإحداثيات، بيتسما المنحنى الناتج منحنى إحداثيات . إذا كان منحنى الإحداثيات خط مستقيم ، بيتسما خط إحداثيات . أما نظام الإحداثيات اللى لا تكون فيه بعض منحنيات الإحداثيات خطوط مستقيمة، فبيتسما نظام إحداثيات منحني .[12] الإحداثيات المتعامدة حالة خاصة، لكن منتشرة اوى، من الإحداثيات المنحنية. بيتقال على خط الإحداثيات اللى تساوى كل إحداثياته الثابتة التانيه صفر اسم محور الإحداثيات ، و هو خط موجه بيستخدم لتعيين الإحداثيات. فى نظام الإحداثيات الديكارتية ، كل منحنيات الإحداثيات خطوط، و علشان كده، فيه عدد من محاور الإحداثيات مساوٍ لعدد الإحداثيات.كمان ، محاور الإحداثيات متعامدة مثنى مثنى.
نظام الإحداثيات القطبية هو نظام إحداثيات منحني، حيث تكون منحنيات الإحداثيات خطوط أو دوائر . رغم ده ، يُختزل واحد من منحنيات الإحداثيات لنقطة واحدة، هيا نقطة الأصل، اللى فى الغالب دايرة نصف قطرها صفر. وبالمثل، أنظمة الإحداثيات الكروية و الأسطوانية ليها منحنيات إحداثيات تكون خطوط أو دوائر أو دوائر نصف قطرها صفر.
يمكن أن تظهر كتير من المنحنيات كمنحنيات إحداثية. زى ، المنحنيات الإحداثية للإحداثيات المكافئة هيا قطع مكافئ .
مستويات/أسطح الإحداثيات
[تعديل]
فى الفضاء ثلاثى الأبعاد، إذا ثُبِّت واحد من الإحداثيات وسُمح للإحداثيين التانيين بالتغير، بيتسما السطح الناتج سطح إحداثى . زى ، الأسطح الإحداثية الناتجة عن تثبيت ρ فى نظام الإحداثيات الكروية هيا الكرات اللى مركزها نقطة الأصل. فى الفضاء ثلاثى الأبعاد، بيتسما تقاطع سطحين إحداثيين منحنى إحداثى. فى نظام الإحداثيات الديكارتية، ممكننا الحديث عن مستويات إحداثية . وبالمثل، الأسطح الفائقة الإحداثية هيا فضاءات ذات (n − 1) بُعد ناتجة عن تثبيت إحداثى واحد فى نظام إحداثيات ليه n بُعد.[13]
خرائط الإحداثيات
[تعديل]مفهوم خريطة الإحداثيات ، أو مخطط الإحداثيات، أساسى فى نظرية المتشعبات. خريطة الإحداثيات هيا فى جوهرها نظام إحداثيات لمجموعة جزئية من فضاء مُعطى، بحيث يكون لكل نقطة فيها مجموعة إحداثيات واحدة بس. بتعبير أدق، خريطة الإحداثيات هيا تماثل شكلى من مجموعة جزئية مفتوحة من فضاء X لمجموعة جزئية مفتوحة من Rⁿ . فى الغالب يتعذر توفير نظام إحداثيات واحد متسق لفضاء كامل. فى دى الحالة، تُجمع مجموعة من خرائط الإحداثيات لتشكيل أطلس يغطى الفضاء. بيتسما الفضاء المُجهز بده الأطلس متشعب ، ويمكن تعريف بنية إضافية على المتشعب إذا كانت دى البنية متسقة عند تداخل خرائط الإحداثيات. زى ، المتشعب التفاضلى هو متشعب يكون فيه تغيير الإحداثيات من خريطة إحداثيات لتانيه دايما دالة قابلة للتفاضل.
إحداثيات قائمة على التوجيه
[تعديل]فى الهندسة وعلم الحركة ، بتستعمل أنظمة الإحداثيات لوصف الموضع (الخطى) للنقاط والموضع الزاوى للمحاور والمستويات و الأجسام الصلبة .[14] فى الحالة الأخيرة، بييحدد اتجاه نظام إحداثيات ثانى (يُشار ليه فى العاده بنظام الإحداثيات "المحلي")، المُثبَّت على العقدة، بناء على نظام الإحداثيات الاولانى (يُشار ليه فى العاده بنظام الإحداثيات "العالمي"). زى ، ممكن تمثيل اتجاه جسم صلب بمصفوفة اتجاه، تتضمن فى أعمدتها التلاته الإحداثيات الديكارتية لثلاث نقاط. بتستعمل دى النقاط لتحديد اتجاه محاور النظام المحلي؛ هيا رؤوس 3 متجهات وحدة مُحاذية لتلك المحاور.
النظم الجغرافيا
[تعديل]الأرض ككلّ واحدة من اكتر المساحات الهندسية انتشار اللى تتطلب قياس دقيق للموقع، و علشان كده أنظمة إحداثيات. بدايه من الإغريق فى العصر الهلنستى ، تم تطوير مجموعة متنوعة من أنظمة الإحداثيات بناء على الأنواع المكتوبه فوق، بما فيها:
- نظام الإحداثيات الجغرافيا ، الإحداثيات الكروية لخطوط العرض والطول
- أنظمة الإحداثيات المسقطة ، بما فيها آلاف أنظمة الإحداثيات الديكارتية ، كل منها بيعتمد على إسقاط الخريطة لإنشاء سطح مستوٍ للعالم أو منطقة ما.
- نظام الإحداثيات الجيو مركزى ، و هو نظام إحداثيات ديكارتية ثلاثى الأبعاد يقوم بنمذجة الأرض كجسم، ويستخدم بشكل منتشر لنمذجة مدارات الأقمار الصناعية ، بما فيها نظام تحديد المواقع العالمى (GPS) و أنظمة الملاحة عبر الأقمار الصناعية التانيه.
شوف كمان
[تعديل]- Absolute angular momentum
- Alphanumeric grid
- Axes conventions in engineering
- Celestial coordinate system
- Coordinate frame
- Coordinate-free
- Fractional coordinates
- Frame of reference
- Galilean transformation
- Grid reference
- Nomogram. graphical representations of different coordinate systems
- Reference system
- Rotation of axes
- Translation of axes
أنظمة الإحداثيات النسبية
[تعديل]مراجع
[تعديل]الاقتباسات
[تعديل]- ↑ Eric W. Weisstein, Coordinate System at MathWorld.
- ↑ Eric W. Weisstein, Coordinates at MathWorld.
- ↑ Stewart، James B.؛ Redlin، Lothar؛ Watson، Saleem (2008). College Algebra (ط. 5th). Brooks Cole. ص. 13–19. ISBN:978-0-495-56521-5.
- ↑ Anton، Howard؛ Bivens، Irl C.؛ Davis، Stephen (2021). Calculus: Multivariable. John Wiley & Sons. ص. 657. ISBN:978-1-119-77798-4.
- ↑ Moon P، Spencer DE (1988). "Rectangular Coordinates (x, y, z)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (ط. corrected 2nd, 3rd print). New York: Springer-Verlag. ص. 9–11 (Table 1.01). ISBN:978-0-387-18430-2.
- ↑ Finney، Ross؛ George Thomas؛ Franklin Demana؛ Bert Waits (يونيو 1994). Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (ط. Single Variable Version). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN:0-201-55478-X.
- ↑ Margenau، Henry؛ Murphy، George M. (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York City: D. van Nostrand. ص. 178. OCLC:3017486.
- ↑ Morse، PM؛ Feshbach، H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ص. 658.
- ↑ Jones، Alfred Clement (1912). An Introduction to Algebraical Geometry. Clarendon.
- ↑ Hodge، W.V.D.؛ D. Pedoe (1994) [1947]. Methods of Algebraic Geometry, Volume I (Book II). Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-46900-5.
- ↑ Woods p. 2
- ↑ Tang، K. T. (2006). Mathematical Methods for Engineers and Scientists. Springer. ج. 2. ص. 13. ISBN:3-540-30268-9.
- ↑ Liseikin، Vladimir D. (2007). A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation. Springer. ص. 38. ISBN:978-3-540-34235-9.
- ↑ Hanspeter Schaub؛ John L. Junkins (2003). "Rigid body kinematics". Analytical Mechanics of Space Systems. American Institute of Aeronautics and Astronautics. ص. 71. ISBN:1-56347-563-4.
لينكات برانيه
[تعديل]- نظام إحداثيات – صور وتسجيلات صوتيه و مرئيه على ويكيميديا كومونز
- نظام إحداثيات معرف مخطط فريبيس للمعارف الحره
- نظام إحداثيات معرف جران منشورات الموسوعه الكتالانيه
- نظام إحداثيات معرف جران منشورات الموسوعه الكتالانيه
- نظام إحداثيات معرف المكتبه الوطنيه الفرنسيه (BnF)
- نظام إحداثيات معرف مايكروسوفت اكاديمك
- نظام إحداثيات معرف مكتبه الكونجرس (LCAuth)
- نظام إحداثيات معرف مكتبه لاتفيا الوطنيه
- نظام إحداثيات معرف ملف استنادى متكامل
