معادله رياضيه

معادله رياضيه

لنك عشوائى
تصانيف	شوف كمان
مصطلحات | مهن جهاز| جوايز كل الليستات	بلديه

أول استخدام لعلامة المساواة، و هو يسوا 14 × 15 = 71 فى التدوين الحديث. من كتاب "حجر الشحذ" لروبرت ريكورد الويلزى (1557).

فى الرياضيات ، المعادلة هيا صيغة رياضية تعبر عن تساوى تعبيرين ، بربطهما بعلامة المساواة = . قد تحمل كلمة "معادلة" و مشتقاتها فى لغات تانيه معانى مختلفة قليل؛ فمثل، فى الفرنسية بتتعرف المعادلة بأنها فيها متغير واحد أو اكتر، فى الوقت نفسه فى الإنجليزية ، بتتعرف المعادلة بأنها أى صيغة صحيحة تتكون من تعبيرين مرتبطين بعلامة المساواة. حل معادلة فيها متغيرات يتضمن تحديد قيم المتغيرات اللى تخللى المساواة صحيحة. بتتسمما المتغيرات اللى لازم حل المعادلة عندها بالمجاهيل ، وبتتسمما قيم المجاهيل دى اللى تحقق المساواة بحلول المعادلة. هناك نوعين من المعادلات: المتدورات والمعادلات الشرطية. المتدورة صحيحة لجميع قيم المتغيرات، فى الوقت نفسه المعادلة الشرطية صحيحة بس لقيم محددة من المتغيرات.

رمز " = " اللى بيظهر فى كل معادلة اخترعه سنة 1557 روبرت ريكورد ، اللى اعتبر أنه مافيش شيء اكتر مساواة من الخطوط المستقيمة المتوازية ذات الطول نفسه.

وصف

المعادلة بتتكتب على شكل تعبيرين متصلين بعلامة يساوى (="). بيتقال على التعبيرين على جنبين علامة يساوى اسم "الطرف الأيسر" و"الطرف الأيمن" للمعادلة. فى الغالب يُفترض أن الطرف الأيمن للمعادلة يساوى صفر. لا يُقلل ده من عمومية المعادلة، علشان ممكن تحقيق ذلك بطرح الطرف الأيمن من الطرفين. اكتر أنواع المعادلات انتشار هيا المعادلات متعددة الحدود (وبتتسمما كمان المعادلات الجبرية )، حيث يكون طرفاها متعددات حدود . طرفين المعادلة متعددة الحدود فيه حد واحد أو اكتر. زى ، المعادلة

$Ax^{2}+Bx+C-y=0$

له جنب أيسر $Ax^{2}+Bx+C-y$ ، اللى تتكون من 4 حدود، و الجنب الأيمن $0$ ، تتكون من حد واحد بس. تشير أسماء المتغيرات لأن x و y مجهولان، و أن A و B و C معلمات ، لكن ده فى العاده يتم تحديده بالسياق (فى بعض السياقات، ممكن يكون y معلمة، أو ممكن تكون A و B و C متغيرات عادية).

المعادلة تشبه الميزان اللى توضع فيه أوزان. فعند وضع أوزان متساوية من مادة ما ( زى الحبوب) فى كفتى الميزان، يبقا الميزان متوازن، واتقال إن الوزنين متساويان. إذا أُزيلت كمية من الحبوب من واحده من كفتى الميزان، فيجب إزالة كمية مساوية ليها من الكفة التانيه للحفاظ على توازن الميزان. بشكل عام، تبقى المعادلة متوازنة إذا اتعملت العملية نفسها على طرفيها.

صفات

معادلتين أو نظامين معادلات بيكونو متكافئين لو كان ليهم نفس مجموعة الحلول.

العمليات اللى جاية باتحول المعادلة أو نظام المعادلات لمعادلـة أو نظام معادلات مكافئ، بشرط إن العمليات دى يكون ليها معنى بالنسبة للتعبيرات اللى بتتطبق عليها:

• إضافة أو طرح نفس الكمية من طرفى المعادلة. ده بيبيين أن كل معادلة تُكافئ معادلة يكون طرفها الأيمن صفر.
• ضرب أو قسمة طرفى المعادلة على كمية غير صفرية.
• تطبيق متدورة لتحويل واحد من طرفى المعادلة. زى ، توسيع حاصل ضرب أو تحليل مجموع.
• بالنسبة للنظام: إضافة الطرف المقابل من معادلة تانيه لكلا جنبيىن المعادلة، مضروب فى نفس الكمية.

إذا طُبقت دالة ما على طرفين معادلة، فالمعادلة الناتجة فيها حلول المعادلة الأصلية ضمن حلولها، لكن قد تحتوى كمان على حلول تانيه بتتسمما حلول دخيلة . زى ، المعادلة $x=1$ عنده الحل $x=1.$ برفع الطرفين لأس 2 (وده يعنى تطبيق الدالة $f(s)=s^{2}$ (ل جنبيىن المعادلة) يغير المعادلة ل$x^{2}=1$ ، اللى لا تقتصر على الحل السابق فحسب، لكن تقدم كمان حل دخيل، $x=-1.$كمان ، إذا ما كانتش الدالة مُعرَّفة عند بعض القيم ( زى 1/ x ، اللى لا بتتعرف عند x = 0)، فقد بتضيع الحلول الموجودة عند تلك القيم. علشان كده، لازم توخى الحذر عند تطبيق زى ده التحويل على معادلة. التحويلات المكتوبه فوق أساس معظم الطرق الأولية لحل المعادلات ، و بعض الطرق الأقل أولية، زى طريقة الحذف الغاوسى .

أمثلة

رسم توضيحى مماثل

توضيح لمعادلة بسيطة؛ x و y و z هيا أعداد حقيقية، مماثلة للأوزان.

المعادلة تشبه الميزان أو الأرجوحة . كل جانب من المعادلة يمثل جنب من جوانب الميزان؛ الجانب الأيسر والجانب الأيمن. ممكن وضع كميات مختلفة على كل جانب: إذا كانت الأوزان على الجنبين متساوية، الميزان متوازن، وبالمثل، المساواة اللى تمثل التوازن متوازنة كمان (و إلا عدم التوازن يمثل متباينة ) .

فى الرسم التوضيحي، x و y و z بتمثل كميات مختلفة ( أعداد حقيقية فى دى الحالة) ممثلة بأوزان دائرية، ولكل منها وزن مختلف. بتشير عملية الجمع لإضافة وزن، فى الوقت نفسه بتشير عملية الطرح لإزالة وزن من الكمية الموجودة. لما تتحقق المساواة، يكون مجموع الأوزان على الجنبين متساوى .

المعاملات و المجاهيل

المعادلات غالب ما فيها حدود تانيه اللى مشمجاهيل. دى الحدود التانيه، اللى يُفترض أنها معلومة ، تسمى فى العاده بالثوابت أو المعاملات أو المعلمات .

مثال على معادلة تتضمن x و y كمتغيرات مجهولة والمعامل R هو

$x^{2}+y^{2}=R^{2}.$

لما تُختار قيمة R علشان تكون 2 ( R = 2)، دى المعادلة معروفه فى الإحداثيات الديكارتية بأنها معادلة الدايرة اللى نصف قطرها 2 حول نقطة الأصل. علشان كده، المعادلة بدون تحديد قيمة R هيا المعادلة العامة للدايرة. فى العاده، يُرمز للمجاهيل بأحرف فى نهاية الأبجدية، x ، y ، z ، w ، ...، فى الوقت نفسه يُرمز للمعاملات (البارامترات) بأحرف فى بدايتها، a ، b ، c ، d ، ... . زى ، بتتكتب المعادلة التربيعية العامة فى العاده على ^الصورة ax² + bx + ج = 0.

عملية إيجاد الحلول، أو فى حالة المعاملات، التعبير عن المجاهيل بدلالة المعاملات دى ، بتتسمما بحل المعادلة . وبتتسمما دى التعبيرات عن الحلول بدلالة المعاملات كمان بالحلول .

نظام المعادلات هو مجموعة من المعادلات دلوقتىية ، فى العاده فيها شوية مجاهيل، ويُبحث عن حلول مشتركة لها. علشان كده، فإن حل النظام هو مجموعة من القيم لكل مجهول، اللى بتشكل مع بعض حل لكل معادلة فى النظام. زى ، النظام

${\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}$

له الحل الوحيد x = -1، ص = 1.

متدورات

المتدورة هيا معادلة صحيحة لجميع القيم الممكنة للمتغير (أو المتغيرات) اللى تحتويها. ومعروفه كتير من المتدورات فى الجبر والتفاضل والتكامل. فى عملية حل المعادلة، بتستعمل المتدورة فى الغالب لتبسيطها،و ده يُسهّل حلها.

فى الجبر، مثال على المتدورة هو الفرق بين مربعين :

$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$

و ده ينطبق على كل قيم x و y .

علم المثلثات هو مجالٌ يزخر بكتير من المتدورات؛ هيا مفيدة فى معالجة المعادلات المثلثية أو حلّها. ومن دى المتدورات، اثنتان تتضمنان دالتى الجيب وجيب التمام :

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

و

$\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$

و الاتنين صحيح لجميع قيم θ .

زى ، لحساب قيمة θ اللى تحقق المعادلة:

$3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,$

لما تكون قيمة θ محصورة بين 0 و 45 درجة، ممكن استخدام المتدورة المكتوبه فوق للناتج للحصول على:

${\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,$

مما ينتج عنه الحل اللى بعد كده لـ θ:

$\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.$

بما أن دالة الجيب دالة دورية ، ليها عدد لا نهائى من الحلول إذا ما كانتش هناك قيود على قيمة θ . فى ده المثال، سيؤدى تقييد قيمة θ بين 0 و45 درجة لحصر الحل فى قيمة واحدة بس.

الجبر

علم الجبر يدرس عيلتين رئيسيتين من المعادلات: المعادلات متعددة الحدود ، ومن بينها الحالة الخاصة للمعادلات الخطية . لما يكون هناك متغير واحد بس، تأخذ المعادلات متعددة الحدود الشكل P ( x ). = 0، حيث P متعددة الحدود ، والمعادلات الخطية ليها الشكل ax + ب = حيث a و b متغيران . لحل المعادلات من أى من الفئتين، بتستعمل تكنولوجيات حسابية أو هندسية مستمدة من الجبر الخطى أو التحليل الرياضى . يدرس الجبر كمان المعادلات الديوفانتية اللى تكون معاملاتها وحلولها اعداد صحيحة . تختلف التكنولوجيات المستخدمة وتستمد من نظرية الأعداد . دى المعادلات صعبة فى العموم ؛ فى الغالب يُبحث بس عن وجود حل أو عدمه، و إذا اتوجد، يُحسب عدد الحلول.

المعادلات متعددة الحدود

الحلول –1 و 2 للمعادلة متعددة الحدود x² – x + 2 = 0 هيا النقاط اللى يقطع عندها الرسم البيانى للدالة التربيعية y = x² – x + 2 المحور x.

بشكل عام، المعادلة الجبرية أو معادلة كتير الحدود هيا معادلة على الصورة اللى بعد كده :

$P=0$, or

$P=Q$

P و Q كثيرتا حدود بمعاملات تنتمى لحقل معين ( زى الأعداد النسبية ، و الأعداد الحقيقية ، و الأعداد المركبة ). بتتسمما المعادلة الجبرية أحادية المتغير إذا كانت فيها متغير واحد بس. أما معادلة كثيرات الحدود، فقد فيها شوية متغيرات، و فى دى الحالة بتتسمما متعددة المتغيرات (متغيرات متعددة، x، y، z، إلخ).

زى ،

$x^{5}-3x+1=0$

هيا معادلة جبرية (متعددة الحدود) أحادية المتغير ذات معاملات صحيحة و

$y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$

هيا معادلة متعددة المتغيرات متعددة الحدود على الأعداد النسبية.

بعض المعادلات متعددة الحدود ذات المعاملات النسبية ليها حل تعبير جبرى ، بعدد محدود من العمليات اللى تتضمن تلك المعاملات بس (أى ممكن حلها جبرى ). ممكن تطبيق ذلك على كل دى المعادلات من الدرجة الأولى أو التانيه أو التالتة أو الرابعة؛ لكن المعادلات من الدرجة الخامسة أو أعلى مش ممكن حلها دايما بالطريقه دى، كما توضح نظرية أبيل-روفينى .

تم تخصيص قدر كبير من البحث لحساب تقريبات دقيقة وفعالة للحلول الحقيقية أو المعقدة لمعادلة جبرية أحادية المتغير (شوف إيجاد جذور كثيرات الحدود ) المشتركة لكذا معادلات متعددة المتغيرات (شوف نظام المعادلات متعددة الحدود ).

أنظمة المعادلات الخطية

كتاب "الفصول التسعة فى الفن الرياضي" هو كتاب صينى مجهول المؤلف يرجع للقرن التانى الميلادي، ويقترح طريقة لحل المعادلات الخطية.

نظام المعادلات الخطية (أو النظام الخطي ) هو مجموعة من المعادلات الخطية اللى تتضمن متغير واحد أو اكتر. زى ،

${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$

هو نظام من 3 معادلات فى 3 متغيرات x, y, z . حل النظام الخطى هو تعيين قيم للمتغيرات بحيث تتحقق كل المعادلات فى آن واحد. بيدى حل النظام أعلاه بالصيغة اللى بعد كده :

${\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}$

لأن ذلك بيخللى المعادلات الثلاث جميعها صحيحة. تشير كلمة " نظام " لأنه لازم النظر لالمعادلات بشكل جماعي، مش بشكل فردى.

فى الرياضيات، نظرية الأنظمة الخطية جزء أساسى من الجبر الخطى ، و هو فرعٌ بيستخدم فى كتير من فروع الرياضيات الحديثة. وتُشكّل الالجوريزمات الحسابية لإيجاد الحلول جزء هام من الجبر الخطى العددى ، وتلعب دور بارز فى الفيزياء والهندسة والكيمياء وعلوم الكومبيوتر والاقتصاد . فى الغالب ممكن تقريب نظام المعادلات اللى مشخطية بنظام خطى (انظر: التخطيط الخطى )، هيا تكنولوجيا مفيدة عند إنشاء نموذج رياضى أو محاكاة كومبيوترية لنظام معقد نسبى.

الهندسة

الهندسة التحليلية

الخط الأزرق والخط الأحمر يمثلان مجموعة كل النقاط ( س ، ص ) اللى تحقق المعادلتين س + ص = 5 و -س + 2 ص = 4 على التوالى. نقطة تقاطعهما ، (2، 3)، تحقق المعادلتين.

فى الهندسة الإقليدية ، ممكن ربط مجموعة من الإحداثيات بكل نقطة فى الفضاء، زى باستخدام شبكة متعامدة. تسمح دى الطريقة بتوصيف الأشكال الهندسية بالمعادلات. ممكن التعبير عن مستوى فى الفضاء ثلاثى الأبعاد كمجموعة حلول لمعادلة من الشكل التالي: $ax+by+cz+d=0$ ، أين $a,b,c$ و $d$ هيا أعداد حقيقية و $x,y,z$ هيا المجاهيل اللى تُقابل إحداثيات نقطة فى النظام المُعطى بالشبكة المتعامدة. القيم $a,b,c$ تمثل إحداثيات متجه عمودى على المستوى المحدد بالمعادلة. يُعبَّر عن الخط المستقيم كنقطة تقاطع مستويين، أى كمجموعة حلول لمعادلة خطية واحدة بقيم فى $\mathbb {R} ^{2}$ أو كمجموعة حلول لمعادلتين خطيتين بقيم فى $\mathbb {R} ^{3}.$

القطع المخروطى هو تقاطع مخروط مع معادلة $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ ومستوى. بعبارة تانيه، فى الفضاء، بتتعرف كل القطوع المخروطية بأنها مجموعة حلول معادلة المستوى ومعادلة المخروط المذكورة آنف . ييمكن ده النموذج من تحديد مواقع و خصايص بؤر القطع المخروطى.

استخدام المعادلات يبوفر الاستعانة بمجال واسع من الرياضيات لحلّ المسائل الهندسية. يُحوّل نظام الإحداثيات الديكارتية المسألة الهندسية لمسألة تحليلية، بمجرد تحويل الأشكال لمعادلات؛ ومن هنا جه اسم الهندسة التحليلية . دى الرؤية، اللى وضعها ديكارت ، تُثرى ول نوع الهندسة اللى تصوّره علما الرياضيات اليونانيون القدام.

مصطلح الهندسة التحليلية حالى بيشير لفرع نشط من فروع الرياضيات. ورغم أنها لسه تستخدم المعادلات لوصف الأشكال، إلا أنها تستخدم كمان تكنولوجيات متطورة تانيه زى التحليل الوظيفى والجبر الخطى .

المعادلات الديكارتية

نظام إحداثيات ديكارتية مع دايرة نصف قطرها 2 و مركزها نقطة الأصل المحددة باللون الأحمر. معادلة الدايرة هيا (x − a)² + (y − b)² = r² حيث أ و ب هما إحداثيات المركز (a, b) ونق هو نصف القطر.

فى الهندسة الديكارتية ، بتستعمل المعادلات لوصف الأشكال الهندسية . ولأن المعادلات اللى تُدرس، كالمعادلات الضمنية أو المعادلات الوسيطية ، ليها عدد لا نهائى من الحلول، الهدف يختلف: فبدل إعطاء الحلول صراحةً أو عدّها، و هو أمر مستحيل، بتستعمل المعادلات لدراسة خصايص الأشكال. دى هيا الفكرة الأساسية للهندسة الجبرية ، هيا فرع مهم من فروع الرياضيات.

ممكن الواحد يستخدم نفس المبدأ علشان يحدد مكان أى نقطة فى الفضاء ثلاثى الأبعاد باستخدام 3 إحداثيات ديكارتية، و هيا المسافات الموجّهة لثلاث مستويات متعامدة، (أو بشكل مكافئ، عن طريق إسقاطها العمودى على 3 خطوط متعامدة). اختراع الإحداثيات الديكارتية فى القرن السبعتاشر على ايد رينيه ديكارت عمل ثورة فى الرياضيات، علشان وفّر أول رابط منهجى بين الهندسة الإقليدية والجبر . وباستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية، ممكن وصف الأشكال الهندسية ( زى المنحنيات ) بمعادلات ديكارتية: هيا معادلات جبرية تتضمن إحداثيات النقاط على الشكل. زى ، ممكن وصف دايرة نصف قطرها 2 فى مستوى، مركزها نقطة معينة بتتسمما نقطة الأصل، بأنها مجموعة كل النقاط اللى تحقق إحداثياتها x و y المعادلة x² + y² = 4 .

المعادلات البارامترية

المعادلة البارامترية لمنحنى ما بتعبر عن إحداثيات نقاط المنحنى كدوال لمتغير بيتسما المعامل . زى ،

${\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}$

هيا معادلات بارامترية لدايرة الوحدة ، حيث t هو البارامتر. وبتتسمما دى المعادلات مجتمعةً بالتمثيل البارامترى للمنحنى.

تم تعميم مفهوم المعادلة البارامترية على الأسطح والمتشعبات و الأصناف الجبرية ذات الأبعاد الأعلى، حيث يكون عدد المعلمات مساوى لأبعاد المتشعب أو الصنف، ويكون عدد المعادلات مساوى لأبعاد الفضاء اللى يتم فيه اعتبار المتشعب أو الصنف (بالنسبة للمنحنيات يكون البعد واحداً ويتم استخدام معلمة واحدة ، وبالنسبة للأسطح يكون البعد اثنين ومعلمتين ، وما لذلك).

نظرية الأعداد

المعادلات الديوفانتية

المعادلة الديوفانتية هيا معادلة متعددة الحدود بمجهولين أو اكتر، حيث يُبحث بس عن الحلول اللى تأخذ كل المجاهيل فيها قيم صحيحة . المعادلة الديوفانتية الخطية هيا معادلة بين مجموع حدين أحاديين من الدرجة صفر أو واحد. مثال على المعادلة الديوفانتية الخطية هو ax + by = c حيث a و b و c ثوابت. أما المعادلة الديوفانتية الأسية فهى معادلة ممكن تكون أسس حدودها مجاهيل.

المسائل الديوفانتية تتضمن عدد أقل من المعادلات مقارنه بالمتغيرات المجهولة، وتتطلب إيجاد أعداد صحيحة تُناسب كل المعادلات. وبعبارة أدق، تُاتعرف دى المسائل منحنى جبرى ، أو سطح جبرى ، أو شكل اكتر عمومية، بعدين تسأل عن نقاط الشبكة الصحيحة عليه.

مصطلح "الديوفانتي" يشير لعالم الرياضيات الهلنستى ديوفانتوس الإسكندرى ، اللى عاش فى القرن التالت الميلادي، اللى درس دى المعادلات و كان من أوائل علما الرياضيات اللى أدخلوا الرموز لالجبر . ومعروفه الدراسة الرياضية للمسائل الديوفانتية اللى بدأها ديوفانتوس اليوم باسم التحليل الديوفانتى.

الأعداد الجبرية و المتسامية

Main articles: Algebraic number and Transcendental number

العدد الجبرى هو عدد يمثل حل لمعادلة متعددة الحدود غير صفرية فى متغير واحد بمعاملات نسبية (أو بصورة مكافئة - عن طريق تبسيط المقامات - بمعاملات صحيحة ). أما الأعداد اللى مشجبرية، زى π فبتتسمما اعداد متسامية . معظم الأعداد الحقيقية والمركبة متسامية.

الهندسة الجبرية

الهندسة الجبرية فرع من فروع الرياضيات ، يدرس تقليدى حلول المعادلات متعددة الحدود . أما الهندسة الجبرية الحديثة فتعتمد على تكنولوجيات اكتر تجريد من الجبر المجرد ، و بالخصوص الجبر التبادلى ، مع لغة ومسائل الهندسة .

المتنوعات الجبرية ، هيا تجليات هندسية لحلول أنظمة المعادلات متعددة الحدود ، من أهمّ المواضيع اللى تُدرس فى الهندسة الجبرية. ومن أمثلة اكتر فئات المتنوعات الجبرية دراسه: المنحنيات الجبرية المستوية ، اللى بتشمل الخطوط ، والدوائر ، والقطع المكافئ ، والقطع الناقص، والقطع الزائد ، والمنحنيات التكعيبية كالقطع الناقص، والمنحنيات الرباعية كالمنحنيات الليمنيسكاتية ، ومنحنيات كاسينى البيضاوية . تنتمى نقطة فى المستوى لمنحنى جبرى إذا كانت إحداثياتها بتحقق معادلة متعددة الحدود مُعطاة. تتضمن الأسئلة الأساسية دراسة النقاط المهمه الخاصة، زى النقاط الشاذة ، ونقاط الانعطاف ، والنقاط عند اللانهاية . أما الأسئلة الاكتر تقدم فتتضمن طوبولوجيا المنحنى والعلاقات بين المنحنيات المُعطاة بمعادلات مختلفة.

المعادلات التفاضلية

جاذب غريب ، ينشأ عند حل معادلة تفاضلية معينة

المعادلة التفاضلية هيا معادلة رياضية تربط دالة ما بمشتقاتها . فى التطبيقات العملية، تمثل الدوال فى العاده كميات فيزيائية، وتمثل المشتقات معدلات تغيرها، وتحدد المعادلة العلاقة بينهم. وبتتحل بإيجاد صيغة للدالة لا تتضمن مشتقات. بتستعمل المعادلات التفاضلية لنمذجة العمليات اللى تتضمن معدلات تغير المتغير، وبتستعمل فى مجالات زى الفيزياء والكيمياء و الأحياء والاقتصاد.

فى الرياضيات البحتة ، تُدرس المعادلات التفاضلية من زوايا نظر متعددة، وينصبّ الاهتمام فى الغالب على حلولها، أى مجموعة الدوال اللى تحقق المعادلة. مش ممكن حل سوى أبسط المعادلات التفاضلية باستخدام صيغ صريحة؛ بس، ممكن تحديد بعض خصايص حلول معادلة تفاضلية معينة دون إيجاد شكلها الدقيق.

إذا لم تتوفر صيغة مستقلة للحل، ممكن تقريب الحل عددى باستخدام الكومبيوترات. تركز نظرية الأنظمة الديناميكية على التحليل النوعى للأنظمة الموصوفة بالمعادلات التفاضلية، فى الوقت نفسه اتطورت كتير من الطرق العددية لتحديد الحلول بدقة معينة.

المعادلات التفاضلية العادية

المعادلة التفاضلية العادية هيا معادلة فيها دالة لمتغير مستقل واحد و مشتقاتها. بيستخدم مصطلح " عادية " تمييز ليها عن مصطلح " المعادلة التفاضلية الجزئية" ، اللى قد فيها اكتر من متغير مستقل. المعادلات التفاضلية الخطية، اللى ممكن جمع حلولها وضربها بمعاملات، مُاتعرفة ومفهومة كويس ، ويمكن الحصول على حلول دقيقة بصيغة مقفولة. فى المقابل، المعادلات التفاضلية العادية اللى تفتقر لحلول جمعية غير خطية، وحلّها اكتر تعقيد، علشان نادر ما ممكن تمثيلها بدوال أولية بصيغة مقفولة؛ فبدل من كده، تكون الحلول الدقيقة والتحليلية للمعادلات التفاضلية العادية على شكل متسلسلات أو تكاملات. قد تُقارب الطرق البيانية والديجيتال ، المُطبقة يدوى أو بالكومبيوتر، حلول المعادلات التفاضلية العادية، ويمكن بتقدم معلومات مفيدة، فى الغالب تكون كافية فى غياب الحلول الدقيقة والتحليلية.

المعادلات التفاضلية الجزئية

المعادلة التفاضلية الجزئية هيا معادلة تفاضلية فيها دوال متعددة المتغيرات مجهولة و مشتقاتها الجزئية . (وده يختلف عن المعادلات التفاضلية العادية اللى تتعامل مع دوال لمتغير واحد و مشتقاتها). بتستعمل المعادلات التفاضلية الجزئية لصياغة مسائل تتضمن دوال لكذا متغيرات، وبتتحل إما يدوى أو باستخدامها لإنشاء نموذج كومبيوترى مناسب.

ممكن استخدام المعادلات التفاضلية الجزئية لوصف طيف واسع من الظواهر، زى الصوت والحرارة و الإلكتروستاتيكا والديناميكا الكهربائية وتدفق الموائع والمرونة وميكانيكا الكم . ويمكن صياغة دى الظواهر الفيزيائية، اللى تبدو متباينة، بشكل مماثل باستخدام المعادلات التفاضلية الجزئية. وكما بتستعمل المعادلات التفاضلية العادية فى الغالب لنمذجة الأنظمة الديناميكية أحادية البعد، المعادلات التفاضلية الجزئية بتستعمل فى الغالب لنمذجة الأنظمة متعددة الأبعاد . وتجد المعادلات التفاضلية الجزئية تعميمها فى المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية .

أنواع المعادلات

ممكن تصنيف المعادلات حسب لأنواع العمليات والكميات المستخدمة. ومن أهم الأنواع اللى جاى:

• المعادلة الجبرية أو معادلة كثيرات الحدود هيا معادلة يكون طرفاها كثيرات حدود (شوف كمان نظام معادلات كثيرات الحدود ). ويتم تصنيفها كذلك حسب الدرجة :
  • معادلة خطية من الدرجة الأولى
  • معادلة تربيعية من الدرجة الثانية
  • معادلة تكعيبية من الدرجة التالتة
  • معادلة من الدرجة الرابعة
  • معادلة من الدرجة الخامسة
  • المعادلة السداسية للدرجة السادسة
  • معادلة الإنتان من الدرجة السابعة
  • معادلة أوكت للدرجة الثامنة
• المعادلة الديوفانتية هيا معادلة تتطلب أن تكون المجاهيل اعداد صحيحة.
• المعادلة المتسامية هيا معادلة تتضمن دالة متسامية لمجاهيلها
• المعادلة البارامترية هيا معادلة بتعبر فيها حلول المتغيرات عن طريق دوال لبعض المتغيرات التانيه، اللى بتتسمما البارامترات ، اللى تظهر فى المعادلات.
• المعادلة الدالية هيا معادلة تكون فيها المجاهيل دوال و مش كميات بسيطة
• المعادلات اللى تتضمن المشتقات والتكاملات والفروق المحدودة:
  • المعادلة التفاضلية هيا معادلة دالية تتضمن مشتقات الدوال المجهولة، حيث يتم حساب قيمة الدالة و مشتقاتها عند نفس النقطة، مثل: $f'(x)=x^{2}$ تنقسم المعادلات التفاضلية لمعادلات تفاضلية عادية للدوال ذات متغير واحد، ومعادلات تفاضلية جزئية للدوال ذات شوية متغيرات.
  • المعادلة التكاملية هيا معادلة دالية تتضمن الدوال الأصلية للدوال المجهولة. بالنسبة للدوال ذات المتغير الواحد، تختلف دى المعادلة عن المعادلة التفاضلية بشكل أساسى فى تغيير المتغير باستبدال الدالة بمشتقتها، لكن ده ما ينطبقش عند حساب التكامل على سطح مفتوح.
  • المعادلة التكاملية التفاضلية هيا معادلة دالية تتضمن مشتقات ودوال أصلية للدوال المجهولة. بالنسبة للدوال ذات المتغير الواحد، تختلف دى المعادلة عن المعادلات التكاملية والتفاضلية بتغيير مماثل فى المتغير.
  • المعادلة التفاضلية الوظيفية أو المعادلة التفاضلية التأخيرية هيا معادلة دالة تتضمن مشتقات الدوال المجهولة، ويتم تقييمها عند نقاط متعددة، زى $f'(x)=f(x-2)$
  • المعادلة التفاضلية هيا معادلة يكون فيها المجهول دالة f تظهر فى المعادلة بf ( x )، f ( x -1)، ...، f ( x - k )، حيث k عدد صحيح بيتسما رتبة المعادلة. إذا اقتصر x على عدد صحيح، المعادلة التفاضلية بتبقا مماثلة لعلاقة تكرارية.
  • المعادلة التفاضلية العشوائية هيا معادلة تفاضلية يكون فيها واحد أو اكتر من الحدود عملية عشوائية

لينكات برانيه

• معادلة رياضية – صور وتسجيلات صوتيه و مرئيه على ويكيميديا كومونز
• معادلة رياضية على موقع كيورا - Quora
• معادلة رياضية معرف مخطط فريبيس للمعارف الحره
• معادلة رياضية معرف المكتبه الوطنيه الفرنسيه (BnF)
• معادلة رياضية معرف قاعده بيانات الضبط الوطنيه التشيكيه
• معادلة رياضية معرف مكتبه الكونجرس (LCAuth)
• معادلة رياضية معرف ملف استنادى متكامل

• Winplot : برنامج رسم بيانى للأغراض العامة يمكنه رسم وتحريك المعادلات الرياضية ثنائية وثلاثية الأبعاد.
• مخطط المعادلات : صفحة ويب لإنتاج وتنزيل مخططات pdf أو postscript لمجموعات الحلول للمعادلات والمتباينات فى متغيرين ( x و y ).